I. Explication mathématique des fractales

Comprendre la notion de fractale n'est pas quelque chose de très évident, étant donné qu'au premier abord, c'est un objet purement mathématique et théorique. Une première explication peut être trouvée dans le dictionnaire. La définition du Petit Robert 2007 pour le mot « fractale » est : Objet mathématique servant à décrire les objets de la nature dont les formes découpées laissent apparaître à des échelles d'observation de plus en plus fines des motifs similaires (éponge, flocon de neige...). Le mot « fractale » vient du latin fractus qui signifie « brisé ».

À l'origine, ce mot n'existait pas, mais Benoît Mandelbrot, mathématicien franco-américain et créateur de la notion de fractale, l'a inventé pour les besoins de son livre Les objets fractals, où il explique sa découverte. D'ailleurs, l'orthographe même de ce mot n'est pas clairement définie, certains préférant l'écrire sans 'e'.

Bien que son livre n'ait été publié qu'en 1975, ses travaux commencèrent dans les années 50. Certaines figures fractales avaient déjà été découvertes par des mathématiciens depuis la fin du 19ème siècle mais aucun lien n'avait été fait entre ces différentes figures et les propriétés qu'elles possédaient étaient alors très mal comprises. Si la découverte de Mandelbrot a eu autant de succès, c'est parce qu'elle ne touche pas seulement les mathématiques, mais de nombreux autres domaines d'applications comme la transmission de signaux, les cours boursiers, la répartition des galaxies ou même la structure des poumons.

Benoît Mandelbrot est donc celui qui a inventé la notion de géométrie fractale. Cette géométrie porte sur des objets de dimension non-entière. Les dimensions qui nous sont familières sont les dimensions euclidiennes, propres à la géométrie euclidienne (point de dimension 0, ligne de dimension 1, surface de dimension 2 et volume de dimension 3). Les fractales, elles, ont une dimension qui leur est propre, appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch ou par extension « dimension fractale ». Celle-ci se calcule par la formule : Formule_1.png

Par exemple, si l'on couvre une surface avec des carreaux de 20cm de côté, puis que l'on change d'avis et que l'on veut mettre des carreaux de 10cm de côté, le nombre de carreaux utilisés ne sera pas multiplié par deux, mais par quatre : Formule_2.pngOn retrouve bien la dimension 2, caractéristique des surfaces.

La caractéristique principale des objets fractals les plus simples est l'auto-similarité, c'est-à-dire que la forme générale est formée de copies identiques mais plus petites. C'est pourquoi la plupart du temps, les fractales sont formées à partir d'un motif appelé générateur. Ce motif est appliqué à une partie de ce générateur, appelé initiateur.

 

            

       Initiateur

                                                                                                                                                                                                                        

 

Générateur

Pour concrétiser cette notion d'auto-similarité, nous allons étudier la fractale nommée « flocon de von Koch ». Cette fractale, découverte par le mathématicien suédois Helge von Koch en 1906, ressemble en effet à un flocon.

Pour construire cette figure, il faut partir d'un triangle équilatéral. Dans le soucis de simplifier la compréhension, nous partirons d'un triangle équilatéral unitaire, c'est-à-dire, dont les côtés mesurent 1 unité :

tpe.jpg

Puis, nous divisons chacun des segments de ce triangle par trois, et remplaçons le segment central par un nouveau triangle équilatéral :

tpe-1.jpg

Par la suite, l'opération est répétée autant de fois que désiré. Le principe des fractales est que l'opération soit répétée une infinité de fois, cependant, les outils de tracés ou les ordinateurs ne seront jam

 

ais suffisamment précis ou puissants pour calculer et tracer cette fractale. Nous devrions en effet tracer éternellement cette fractale, ce qui n'est pas concevable. C'est pourquoi, lorsque l'on trace une fractale sur ordinateur, le nombre de répétitions choisi est suffisamment grand pour que 

l’œil humain ne puisse pas faire la différence entre ce nombre de répétitions et l'infinité :

tpe-2.jpgtpe-5.jpg

 


 

Nous avons ensuite fait des calculs pour vérifier certaines caractéristiques du flocon de von Koch. En effet, nous avons voulu prouver que, lorsque le nombre d'itérations tend vers l'infini, le périmètre tend aussi vers l'infini et l'aire tend vers une valeur qui dépend du côté du triangle de départ.

Pour les calculs à suivre, n vaudra 4 (nombre de traits du générateur), et i sera le nombre d'itérations de la fractale :

001-1.jpg

002.jpg

003.jpg004-1.jpg

005.jpg

Ici, (Racine de 3)/4 est la valeur de l'aire du triangle de départ

006.jpg


Nous avons pu voir, en créant un graphique, l'évolution du périmètre et de l'aire : le périmètre tend vers l'infini tandis que la valeur de l'aire a tendance à être fixe (elle n'est pas nulle, mais est très petite en comparaison avec le périmètre).

capture-plein-ecran-24012013-210603.jpg

 



Maintenant que nous avons défini les fractales nous pouvons en donner des exemples dans ce qui nous entoure ici.

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