II.C Applications techniques

La géométrie fractale est largement utilisée dans de nombreuses applications industrielles et technologiques créées par l'Homme. Sans que l'on en ait conscience, les fractales sont présentes partout autour de nous, sur un ordinateur, dans un téléphone portable, et dans bien d'autres objets encore plus inattendus.

 

En infographie, c'est à dire la création d'images réalistes ou non, assistées par ordinateur, les fractales sont utilisées pour la réalisation de maps (cartes) dans les jeux vidéos. L'élévation de terrain est souvent créée automatiquement grâce à une image appelée bump map. Cette image est composée d'une multitude de points (pixels) correspondants à une zone précise de la map du jeu. On applique un niveau de gris à chacun de ces pixels : plus le pixel est blanc, plus le terrain sera élevé. La couleur de chacun des pixels est déterminée par une fonction fractale qui associe à chaque point une hauteur. Ainsi, lorsque l'on lance la génération du terrain, on obtient un terrain formé d'une multitude de petits triangles, eux-mêmes fractals, les détails étant modélisés par des triangles de plus en plus petits. Cette technique est particulièrement efficace car elle permet, en fonction de la fonction fractale utilisée, qui est facilement paramétrable par le créateur de la map, de créer des terrains très différents avec un même procédé. De plus, la propriété fractale de la carte permet un plus grand réalisme grâce à la répétition d'un même motif à grande puis à plus petite échelle, bien que ceci ne soit pas perceptible et que l'on en ait pas conscience.

Certains algorithmes sont favorisés pour le calcul et la définition de ces cartes. Parmi eux, il existe l'algorithme diamant-carré.

Tout d'abord, il faut considérer la map comme une matrice (un tableau où chaque intersection de ligne est définit par des coordonnées cartésiennes). On définit les 4 points définissant les 4 extrêmes de notre matrice :

1-3.png

Le point rouge est un nouveau point, situé au centre du carré, que l'on élève à une hauteur aléatoire (définie par notre algorithme).2-2.pngPuis on élève le centre des losanges créés par le centre (ici le point rouge) et les points du carré (ici les points noirs) d'une valeur elle aussi aléatoire. La première étape est un cas particulier car les points sont situés aux extrémités de la matrice. Les points bleus représentent ici le centre de chacun des losanges.On a donc 4 demi-losanges :3.png

 et on répète le procédé depuis le départ en partant du carré le plus grand qui n'a pas été utilisé (dont les 4 points sont ici le centre des petits carrés) :

4.png

 Bien entendu, pour ne pas se retrouver avec des terrains totalement incohérents, la hauteur de chaque point est calculée par l'algorithme grâce à une fonction bien spécifique :

 

hauteur = moyenne() + random() * espace * lissage

 

Où on a :

moyenne : la moyenne de la hauteur des quatre points du carré/du diamant

random : un nombre aléatoire définit par l'ordinateur

espace : espace entre le point cible au centre du carré ou du diamant et les points sources

lissage : un chiffre comprit entre 0 et 1 qui définit l'anfractuosité générale du terrain. Plus le lissage est élevé, moins le terrain sera lisse. 

5-1.png

Lissage à 0,5

 

6.png  Lissage à 0,9

Pour faciliter la création de terrain, ces fonctions fractales et algorithmes permettant de définir des cartes sont déjà inclues dans des logiciels accessibles aux utilisateurs n'ayant aucune connaissance de ce sujet. Dans le cadre de notre TPE, nous avons utilisé la version gratuite du logiciel Terragen 2. Un logiciel comme celui-ci permet non seulement de réaliser le relief du terrain, mais aussi de définir sa couleur, et de créer une atmosphère (brouillard, nuages, lumière ambiante, etc).

 7.png

Voici deux terrains que nous avons réalisé sur les logiciels Terragen et Terragen 28.jpg

 Les fractales trouvent également des applications dans le domaine de l'industrie. Nous allons voir cela avec deux exemples totalement différents : les antennes fractales et les murs anti-bruits.

 

Afin de comprendre comment sont faites les antennes fractales et ce qu'elle apportent au niveau des performances, nous avons analysé le brevet d'une entreprise américaine : Fractus, qui développe des antennes miniatures pour des systèmes embarqués comme des téléphones portables. Le brevet a été déposé sous la référence US 7148850, et vise à protéger le concept d'antenne miniature de « remplissage de l'espace » (c'est une traduction littérale de la mention du brevet « Space-filling miniature antenna »).

Avant cette invention, on considérait que la bonne qualité d'une antenne miniature impliquait nécessairement que la largeur de bande soit limitée proportionnellement à la taille de cette antenne. Le manque d'efficacité de ce type d'antenne était donc inévitable.

 

Dans le brevet, l'entreprise a tout d'abord définit sous quelles conditions l'antenne est miniature : « une antenne est considérée comme une petite antenne (ou antenne miniature) lorsqu'elle peut être encastrée dans un petit espace, compte tenu de la longueur d'onde de fonctionnement. Pour être plus précis, une antenne est considérée comme étant petite si elle peut être comprise à l'intérieur d'une sphère imaginaire dont le rayon est égal à la longueur d'onde divisé par. » Les domaines d'applications sont les télécommunications et, plus précisément, le design des antennes de taille réduite.

L'idée est venue de l'affirmation de R.C. Hansen, qui disait que les performances d'une petite antenne dépendent de sa capacité à utiliser efficacement le petit espace disponible à l'intérieur de la sphère imaginaire qui l'entoure. Les ingénieurs se sont inspirés de certaines géométries étudiées dès le XIXème siècle par des mathématiciens tels que Guisepe Peano et David Hilbert. Ces courbes avaient été étudiées d'un point de vue mathématique, mais n'avaient jamais été exploitées dans des application d'ingénierie. Il est dit clairement dans le brevet que le point clé de l'invention est la formation de tout ou partie de l'antenne selon une courbe de remplissage de l'espace, c'est à dire une courbe grande en terme de longueur physique mais courte en terme de surface (il faut en effet comprendre « remplissage de l'espace vide »). On précise également que, pour former correctement la structure d'une antenne miniature en utilisant l'invention décrite dans le brevet, les segments doivent être plus petits qu'un dixième de l'espace libre de la longueur d'onde en fonctionnement.

 

Les avantages de l'utilisation de courbes de remplissage de l'espace sont :

  • suivant une fréquence ou une longueur d'onde de fonctionnement précise, ladite antenne fractale peut être réduite en taille par rapport à ce qui faisait jusqu'à maintenant

  • suivant la taille physique de l'antenne fractale, ladite antenne peut opérer à une fréquence plus basse (une longueur d'onde plus longue) que ce qui se faisait auparavant.

 

Les limitations qui affectaient les antennes miniatures auparavant sont maintenant moins importantes car l'emploi de courbes de remplissage de l'espace permet de s'affranchir en partie des limitations de la largeur de bande.

Nous allons maintenant détailler comment fonctionne une antenne qui utilise cette technologie, toujours grâce aux ressources du brevet.

Suite à cette découverte, les ingénieurs et chercheurs ont cherché comment l'adapter au mieux.

 

Ils sont partis de courbes déjà existantes (ici 3 courbes que l'entreprise appelle courbe SZ avec plus ou moins d'itérations) :10-2.png

 9-2.png

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 Ils ont cherché différentes façons d'assembler plusieurs de ses courbes pour mieux les adapter aux composants :

 

 12.pngLes fils peuvent ensuite être assemblés de différentes manières, selon que l'on veut une antenne dipôle (avec deux bras), ou monopole (un seul bras) :13.png

 

 14.png

 Cela est valable pour les courbes de Hilbert  : 

15.pngL'emplacement pour l'antenne est donc adapté pour faire passer le fil :16.pngCette technique est ensuite appliquée selon les différentes antennes que l'on veut obtenir. On peut utiliser d'autres types de courbes (ici, courbe ZZ, pour ZigZag) :

17.pngAfin de créer, par exemple, une antenne boucle :

18.pngIls ont également réutilisé la courbe de Peano qui peut être utilisée pour des antennes patchs :

 19-1.png

 20.pngMais la force de cette invention est qu'elle peut être appliquée à tous les types d'antenne :

 21.pngAntenne cornet où la coupe transversale a la forme d'une courbe de remplissage de l'espace

22.png


Antenne réflecteur : même principe que les parabole, mais la partie qui réfléchit n'est pas nécessairement parabolique.

Les ingénieurs ont ensuite décliné les courbes déjà existantes en d'autres courbes, souvent composées de deux courbes différentes :23.png

Courbe Hilbert ZZ (courbe de Hilbert + courbe Zigzag) 

La courbe de Peano a également été très réutilisée :

 24.png 

Courbe Peanodec

 

 25.png

Courbe Peanoinc

 

 

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Courbe Peano ZZ (courbe de Peano + courbe Zigzag)

Une autre application industrielle des fractales est le mur anti-bruit fractal.

Ce produit est issu de la collaboration entre le groupe Colas, spécialisé dans la construction de route, et Bernard Sapoval, chercheur au laboratoire mixte de l'Ecole polytechnique et du CNRS. En effet, les recherches de ce dernier ont montré que plus le rapport entre la surface apparente et la surface réelle (celle qu'on ne voit pas forcément mais qui existe bel et bien, comme les creux) est grand, plus l'absorption des sons par cette surface est importante. L'idée lui est venue de la surface irrégulière des côtes, qui amortissent les vagues – les vagues pouvant être considérées comme des ondes – lorsque celles-ci se brisent sur les rochers.

Suite à cette découverte, le groupe Colas, qui vend des écrans phoniques, a souhaité s'associer à Bernard Sapoval pour créer un nouveau produit plus efficace. La première difficulté a été de créer un prototype de surface irrégulière afin de pouvoir effectuer des tests : en effet, le mur doit pouvoir être moulé en usine. Les tests effectués n'ont fait que confirmer les calculs du chercheur polytechnicien : l'indice d'absorption des sons s'élève à 17 sur une échelle allant de 0 à 20, soit plus de 4 échelons au dessus d'autres produits similaires. Ces murs irréguliers sont particulièrement efficace pour les ondes de basse fréquences, qui correspondent au bruit des camions sur les routes. De plus, ils sont faits d'un mélange de ciment et de copeaux de bois, ce qui réduit les coûts de fabrication.

Depuis 2004, ces écrans phoniques à géométrie irrégulière équipent donc les autoroutes, les sorties de tunnels et les aéroports mais un modèle encore plus isolant est en cours de développement.

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Géométrie fractale du mur antibruit développé par Colas

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